5.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,2Sn=an+1+n2-2n+1,n∈N*
(1)求a2的值;
(2)求證數(shù)列{an-n+1}是等比數(shù)列;
(3)記bn=n(an+1-3n-1),證明:對一切正整數(shù)n,有$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$<$\frac{7}{4}$.

分析 (1)由a1=1,2Sn=an+1+n2-2n+1,n∈N*.令n=1可得,2a1=a2+1-2+1,解得a2
(2)2Sn=an+1+n2-2n+1,可得n≥2時(shí),2Sn-1=an+(n-1)2-2(n-1)+1,
相減可得:an+1=3an-2n+3,變形為:an+1-(n+1)+1=3(an-n+1),驗(yàn)證n=1時(shí)也成立,即可證明.
(3)由(2)可得:an-n+1=3n-1,可得bn=n(an+1-3n-1)=n2,n≥3時(shí),$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$.即可證明.

解答 (1)解:∵a1=1,2Sn=an+1+n2-2n+1,n∈N*.∴2a1=a2+1-2+1,∴a2=2.
(2)證明:∵2Sn=an+1+n2-2n+1,∴n=2時(shí),2×(1+2)=a3+1,解得a3=5.
n≥2時(shí),2Sn-1=an+(n-1)2-2(n-1)+1,
相減可得:an+1=3an-2n+3,
變形為:an+1-(n+1)+1=3(an-n+1),n=1時(shí),5-2+1=3+1成立.
∴數(shù)列{an-n+1}是等比數(shù)列,公比為3,首項(xiàng)為1.
(3)證明:由(2)可得:an-n+1=3n-1,
∴bn=n(an+1-3n-1)=n2
∴n≥3時(shí),$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$.
對一切正整數(shù)n,有$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$<1+$\frac{1}{4}$+$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$<$\frac{7}{4}$.

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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