Question

9．定義函數(shù)f（x）如下：對(duì)于實(shí)數(shù)x，如果存在整數(shù)m，使得|x-m|＜$\frac{1}{2}$，則f（x）=m，已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且f（a₂）+f（a₃）=2，則公比q的取值范圍是（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

Answer 1

分析 由f（a₂）+f（a₃）=2可知f（a₂）=f（a₃）=1，根據(jù)新定義列出不等式解出q．

解答 解：∵a₁=1，∴a₂=q，a₃=q²．
（1）若q=1，則f（a₂）=f（a₃）=f（1）=1，符合題意；
（2）若0＜q＜1，則0＜a₂＜1，0＜a₃＜1，
∴f（a₂）=0或f（a₂）=1，f（a₃）=0或f（a₃）=1，
∵f（a₂）+f（a₃）=2，∴f（a₂）=1，f（a₃）=1．
∴|a₂-1|$＜\frac{1}{2}$，|a₃-1|$＜\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{2}＜$a₂＜$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}＜{a}_{3}＜\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜q＜\frac{3}{2}}\\{\frac{1}{2}＜{q}^{2}＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜q＜1；
（3）若q＞1，則a₂＞1，a₃＞1，
∴f（a₂）≥1，f（a₃）≥1，
∵f（a₂）+f（a₃）=2，∴f（a₂）=1，f（a₃）=1．
∴|a₂-1|$＜\frac{1}{2}$，|a₃-1|$＜\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{2}＜$a₂＜$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}＜{a}_{3}＜\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜q＜\frac{3}{2}}\\{\frac{1}{2}＜{q}^{2}＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得1＜q＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（4）若q=-1，則a₂=-1，a₃=1，
∴f（a₂）=-1，f（a₃）=1，不符合題意；
（5）若-1＜q＜0，則-1＜a₂＜0，0＜a₃＜1，
∴f（a₂）=-1或f（a₂）=0，f（a₃）=0或f（a₃）=1，
與f（a₂）+f（a₃）=2矛盾；
（6）若-$\frac{3}{2}$＜q＜-1，則-$\frac{3}{2}$＜a₂＜-1，1＜a₃＜$\frac{9}{4}$，
∴f（a₂）=-1，f（a₃）=1或f（a₃）=2，
與f（a₂）+f（a₃）=2矛盾；
（7）若q=-$\frac{3}{2}$，則|-$\frac{3}{2}$-m|＜$\frac{1}{2}$無(wú)整數(shù)解，即f（a₂）無(wú)意義，不符合題意；
（8）若-$\frac{5}{2}$＜q＜-$\frac{3}{2}$，則-$\frac{5}{2}$＜a₂＜-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$＜a₃＜$\frac{25}{4}$，
∴f（a₂）=-2，
∵f（a₂）+f（a₃）=2，
∴f（a₃）=4．
∴|a₃-4|＜$\frac{1}{2}$，即|q2-4|＜$\frac{1}{2}$，可得 $\frac{7}{2}$＜q2＜$\frac{9}{2}$，
又$\frac{9}{4}$＜q²＜$\frac{25}{4}$，-$\frac{5}{2}$＜q＜-$\frac{3}{2}$，
解得：-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜q＜-$\frac{\sqrt{14}}{2}$；
（9）若q=-$\frac{5}{2}$時(shí)，由（7）可知不符合題意；
（10）若-3＜q＜-$\frac{5}{2}$，則-3＜a₂＜-$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{4}$＜a₃＜9，
∴f（a₂）=-3，
∵f（a₂）+f（a₃）=2，
∴f（a₃）=5．
∴|a₃-5|＜$\frac{1}{2}$，|q²-5|$＜\frac{1}{2}$，即$\frac{9}{2}$＜q²＜$\frac{11}{2}$，
又$\frac{25}{4}$＜q²＜9，-3＜q＜-$\frac{5}{2}$，
方程無(wú)解；
（11）當(dāng)q≤-3，同理可得q無(wú)解；
綜上可得：q的取值范圍（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．
故答案為（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)新定義的理解，不等式的解法，屬于中檔題．