Question

20．過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）的直線l分別交x軸的負(fù)半軸和y軸的負(fù)半軸于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)PA•PB最小時(shí)，求l的方程；
（2）設(shè)△AOB的面積為S，討論這樣的直線l的條數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，表示出PA•PB，求出它取最小值時(shí)直線l的方程即可．
（2）因?yàn)椤鰽OB的面積為S，設(shè)直線l的斜率為k（k＜0），則過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）的直線l的直線方程為y+2=k（x+1），根據(jù)三角形的面積公式得到2S=|k-2|•|$\frac{2}{k}$-1|，即為k²+（2S-4）k+4=0，根據(jù)判別式討論解得情況，即可得到直線l的條數(shù)．

解答 解：（1）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，如圖所示：
設(shè)∠BAO=θ，則0°＜θ＜90°，
PA=$\frac{2}{sinθ}$，PB=$\frac{1}{cosθ}$，
∴PA•PB=$\frac{2}{sinθ}$•$\frac{1}{cosθ}$=$\frac{4}{sin2θ}$，
當(dāng)2θ=90°，即θ=45°時(shí)，
PA•PB取得最小值，
此時(shí)直線的傾斜角為135°，斜率為-1，
∴直線l的方程為y+2=-1（x+1），
化簡(jiǎn)得x+y+3=0，
（2）因?yàn)椤鰽OB的面積為S，設(shè)直線l的斜率為k（k＜0），
∴點(diǎn)P（-1，-2）的直線l的直線方程為y+2=k（x+1），
當(dāng)x=0時(shí)，y=k-2，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{2}{k}$-1，
∴2S=|k-2|•|$\frac{2}{k}$-1|=（2-k）（1-$\frac{2}{k}$）=2+2-$\frac{4}{k}$-k，
∴k²+（2S-4）k+4=0，
當(dāng)△＜0時(shí)，即（2S-4）²-4×4＜0，解得0＜S＜4時(shí)，方程無(wú)解，此時(shí)直線的條數(shù)為0，
當(dāng)△=0時(shí)，即（2S-4）²-4×4=0，解得S=4時(shí)，方程有一個(gè)解，解得k=-2，此時(shí)直線的條數(shù)為1，
當(dāng)△＞0時(shí)，即（2S-4）²-4×4＞0，解得S＞4時(shí)，方程有兩個(gè)解，解得k=-（s-2）±$\sqrt{（s-2）^{2}-4}$＜0，此時(shí)直線的條數(shù)為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，三角函數(shù)的最值問(wèn)題，也考查了用點(diǎn)斜式求直線的方程的應(yīng)用問(wèn)題，以及根的判別式的應(yīng)用，屬于中檔題．