Question

8．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+2kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）=m有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)是偶函數(shù)，利用定義推出方程求解即可．
（2）通過(guò)方程有解，求出函數(shù)的最值，即可推出m的范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)可知，f（-x）=f（x），
∴l(xiāng)og₄（4^x+1）+2kx=log₄（4^-x+1）-2kx，即log₄$\frac{4x+1}{4-x+1}$=-4kx，
∴l(xiāng)og₄4^x=-4kx，∴x=-4kx，即（1+4k）x=0，對(duì)一切x∈R恒成立，
∴k=-$\frac{1}{4}$．…（6分）
（2）由m=f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄$\frac{4x+1}{2x}$=log₄（2^x+$\frac{1}{2x}$），
∵2^x＞0，∴2^x+$\frac{1}{2x}$≥2，∴m≥log₄2=$\frac{1}{2}$．
故要使方程f（x）=m有解，
m的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．