Question

5．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=1，a_n+1-a_n=a_k（k∈{1，2，…，n}）
（Ⅰ）求證：a_n+1-a_n≥1；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：$\frac{1}{2}$n（n+1）≤S_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)列的單調性即可證明；
（Ⅱ）根據數(shù)列的單調性求得數(shù)列{a_n}的最大值及最小值，利用“累加求和”與不等式的性質即可得出．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵a_n+1-a_n=a_k＞0（k∈{1，2，…，n}），
∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，即1＜a₂＜a₃＜…＜a_n．
又∵a_k+1-a_k=a_k≥1（k∈{1，2，…，n}），
∴a_k+1-a_k≥1（k=1，2，3，…，n-1）．
（Ⅱ）證明：∵當n=1時，2=a₂=2，
當n≥2時，數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=a_n時，取最大值，即a_n+1=2a_n時，
由等比數(shù)列通項公式可知：a_n=2^n-1時，
當a_n+1-a_n=a₁時取最小值，即a_n+1-a_n=1，
由等差數(shù)列通項公式可知：a_n=n，
∴1=a₁=1，2=a₂=2，3≤a₃≤2²，4≤a₄≤2³，…n≤a_n≤2^n-1，
由上面n個式子相加，得到：1+2+3+…+n≤a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+2+2²+2³+…+2^n-1，
$\frac{n（n+1）}{2}$≤S_n≤$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$，
∴$\frac{1}{2}$n（n+1）≤S_n≤2ⁿ-1．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系的應用、“累加求和”、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．