Question

已知f（x）=x-ae^x（a∈R，e為自然對數(shù)的底）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若f（x）≤e^2x對x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求導，分類討論，當a≤0，f'（x）＞0恒成立，當a＞0，再根據(jù)導數(shù)即可判斷函數(shù)的單調性，
（2）分離參數(shù)，構造函數(shù)g(x)=

x

ex

-ex，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（1）f'（x）=1-a•e^x，…（2分）
當a≤0時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的單調遞增；…（4分）
當a＞0時，由f'（x）＞0得x＜-lna，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，-lna）上的單調遞增，函數(shù)f（x）在（-lna，+∞）上的單調遞減；…（6分）
（2）f(x)≤e2x?a≥

x

ex

-ex，
設g(x)=

x

ex

-ex，
則g′(x)=

1-e2x-x

ex

，…（8分）
當x＜0時，1-e^2x＞0，g'（x）＞0，g（x）在（-∞，0）上單調遞增，…（9分）
當x＞0時，1-e^2x＜0，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上單調遞減，…（10分）
所以g（x）_max=g（0）=-1，所以a≥-1；…（12分）

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)法求函數(shù)的單調性，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立，是函數(shù)圖象和性質及導數(shù)的綜合應用，難度中檔