已知函數(shù)
(Ⅰ)設(shè)為函數(shù)的極值點(diǎn),求證: ;
(Ⅱ)若當(dāng)時(shí),恒成立,求正整數(shù)的最大值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)正整數(shù)的最大值為.
解析試題分析:(Ⅰ)設(shè)為函數(shù)的極值點(diǎn),只需對(duì)求導(dǎo),讓它的導(dǎo)函數(shù)在處的值為零,這樣得到的關(guān)系式,從而證明;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),恒成立,求正整數(shù)的最大值,這是恒成立問題,解這類為題,只需分離參數(shù),把含有參數(shù)放到不等式一邊,不含參數(shù)放到不等式的另一邊,轉(zhuǎn)化為求不含參數(shù)一邊的最大值或最小值即可,本題分離參數(shù)得,不等式的右邊就是,這樣轉(zhuǎn)化為求的最小值問題,由于帶有對(duì)數(shù)函數(shù),需用極值法求最值,只需對(duì)求導(dǎo),得,令時(shí),即,無法解方程,可令,判斷單調(diào)性,利用根的存在性定理來確定根的范圍,從而求解.
試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/db/6/17ypn3.png" style="vertical-align:middle;" />,故, 為函數(shù)的極值點(diǎn),, 即,于是,故 ;
(Ⅱ)恒成立,分離參數(shù)得 ,則時(shí),恒成立,只需,,記,, 在上遞增,又,在上存在唯一的實(shí)根, 且滿足, 當(dāng)時(shí),即;當(dāng)時(shí),即,,故正整數(shù)的最大值為.
考點(diǎn):本題函數(shù)與導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值,根的存在性定理,學(xué)生的基本推理能力,及基本運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在上是增函數(shù),求正實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若,且,設(shè),求函數(shù)在上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(Ⅰ)若上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)若的一個(gè)極值點(diǎn),求上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(1)若且,試討論的單調(diào)性;
(2)若對(duì),總使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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設(shè)函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間、最大值;
(2)討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x2 mlnx
(1)若函數(shù)f(x)在(,+∞)上是遞增的,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)m=2時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值和最小值
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已知函數(shù)
(1)求的值域;
(2)設(shè),函數(shù).若對(duì)任意,總存在,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ln-a+x(a>0).
(Ⅰ)若=,求f(x)圖像在x=1處的切線的方程;
(Ⅱ)若的極大值和極小值分別為m,n,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅲ),求證:.
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