Question

已知橢圓G：＋y²＝1.過軸上的動(dòng)點(diǎn)(m,0)作圓x²＋y²＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓G上的點(diǎn)到直線的最大距離;
（2）①當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí),求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo);
②將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

（1）；（2）①當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；② 2

試題分析：（1）設(shè)出與直線平行的直線，并與橢圓方程聯(lián)立消去（或）得關(guān)于的一元二次方程，令判別式為0解得的值（應(yīng)為2個(gè)值）。此時(shí)直線與橢圓相切，分析可知取負(fù)值時(shí)兩直線距離最大，此距離即為橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離。（2）①當(dāng)時(shí)，切線的方程為，代入橢圓方程可得坐標(biāo)。②分析可知，由①可知當(dāng)時(shí)。當(dāng)時(shí)，切線斜率存在設(shè)切線方程為，根據(jù)切線與圓相切即圓心到直線的距離等于半徑可得與間的關(guān)系式。再將切線方程與橢圓方程聯(lián)立消去（或）得關(guān)于的一元二次方程，可知判別式應(yīng)大于0且可得根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得，根據(jù)與間的關(guān)系式可消去一個(gè)量，可用基本不等式求最值。
（1）設(shè)直線，帶入橢圓方程得，
得，（4分）
由圖形得直線與直線的距離為橢圓G上的點(diǎn)到直線的最大距離為（6分）
（2）①由題意知，.
當(dāng)時(shí)，切線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，此時(shí).（8分）
當(dāng)時(shí)，同理可得.（9分）
②當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線的方程為．
由得.（10分）
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則
.
又由與圓相切，得，即.（11分）
所以.（12分）
由于當(dāng)時(shí)，，所以，．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240526294171462.png" style="vertical-align:middle;" />，（13分）
且當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為2.