Question

2．已知函數f（x）=e^kx-2x（k∈R，k≠0）．
（1）若對任意的x∈R，都有f（x）≥1，求k的值；
（2）對于函數f（x）的單調遞增區(qū)間內的任意實數x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），證明：$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜f′（x₂）＜$\frac{f（{x}_{3}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{3}-{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）對k分類討論，研究函數f（x）的單調性，利用單調性求出函數的最小值，將f（x）≥1恒成立等價轉化為f（x）_min≥1，即$\frac{2}{k}$≥1，構造函數g（x）=x-xlnx（x＞0），利用導數確定出g（x）的最值，從而判定$\frac{2}{k}$=1，即可求出k的值；
（2）先證$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜f′（x₂），運用分析法分析出只要證${e}^{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}$-k（x₁-x₂）-1＞0即可，通過構造函數h（x）=e^x-x-1＞0在（-∞，0）上恒成立，即可證得${e}^{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}$-k（x₁-x₂）-1＞0，從而證得$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜f′（x₂），同理可證f′（x₂）＜$\frac{f（{x}_{3}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{3}-{x}_{2}}$，即可證得結論

解答 解：（1）∵f（x）的定義域為R，f′（x）=ke^kx-2，
①若k＜0時，f′（x）恒小于零，則f（x）在R上單調遞減；
∵當x＞0時，f（x）＜f（0）=1，
∴不符合f（x）≥1恒成立．
②若k＞0時，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{k}$ln$\frac{2}{k}$，
當x＜$\frac{1}{k}$ln$\frac{2}{k}$時，f′（x）＜0，可知f（x）在（-∞，$\frac{1}{k}$ln$\frac{2}{k}$）單調遞減，
當x＞$\frac{1}{k}$ln$\frac{2}{k}$時，f′（x）＞0，可知f（x）在（$\frac{1}{k}$ln$\frac{2}{k}$，+∞）單調遞增，
∴f（x）min=f（$\frac{1}{k}$ln$\frac{2}{k}$）=$\frac{2}{k}$-$\frac{2}{k}$ln$\frac{2}{k}$，
∵f（x）≥1恒成立，即f（x）_min≥1，
∴$\frac{2}{k}$-$\frac{2}{k}$ln$\frac{2}{k}$≥1，
構造函數g（x）=x-xlnx（x＞0），
∴g′（x）=1-lnx-1=-lnx，
∴g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴g（x）≤g（1）=1，當且僅當x=1時取得最大值1，
∴$\frac{2}{k}$=1，
∴k=2．
（2）由已知可知，f′（x₂）=k${e}^{k{x}_{2}}$-2≥0，則k＞0，
先證$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜f′（x₂），
∵x₂-x₁＞0，
要證$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜f′（x₂），
只要證f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）（k${e}^{k{x}_{2}}$-2），即證k${e}^{k{x}_{2}}$-${e}^{k{x}_{1}}$＜k（x₂-x₁）k${e}^{k{x}_{2}}$，
只要證1-${e}^{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}$＜k（x₂-x₁），即證${e}^{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}$-k（x₁-x₂）-1＞0，
設h（x）=e^x-x-1，
∵h′（x）=e^x-1＜0，
∴h（x）在（-∞，0）內是減函數，
∴h（x）＞h（0）=0，
∵x=k（x₁-x₂）＜0，
∴h（k（x₁-x₂））＞0，
∴$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜f′（x₂），
同理可證f′（x₂）＜$\frac{f（{x}_{3}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{3}-{x}_{2}}$．
∴$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜f′（x₂）＜$\frac{f（{x}_{3}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{3}-{x}_{2}}$．

點評 本題主要考查了導數在最大值和最小值中的應用，考查了利用導數研究函數的單調性以及用導數解決方程根的分布的問題，同時考查了利用構造函數法證明不等式，是一道綜合題，有一定的難度．屬于難題．