Question

17．已知f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f（x）=$\frac{1}{2}$x²-f（0）x+f′（1）e^x-1，若g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²+x，則方程g（$\frac{{x}^{2}}{a}$-x）-x=0有且僅有一個(gè)根時(shí)，a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）∪{1}
• B． （-∞，1]
• C． （0，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f（x），再求出g（x），根據(jù)方程g（$\frac{{x}^{2}}{a}$-x）-x=0，轉(zhuǎn)化為$\frac{{x}^{2}}{a}$-x=lnx．利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求出答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-f（0）x+f′（1）e^x-1，
∴f（0）=f′（1）e^-1，
∴f′（x）=x-f（0）+f′（1）e^x-1，
∴f′（1）=1-f′（1）e^-1+f′（1）e^1-1，
∴f′（1）=e，
∴f（0）=f′（1）e^-1=1，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+e^x，
∴g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²+x=$\frac{1}{2}$x²-x+e^x-$\frac{1}{2}$x²+x=e^x，
∵g（$\frac{{x}^{2}}{a}$-x）-x=0，
∴g（$\frac{{x}^{2}}{a}$-x）=x=g（lnx），
∴$\frac{{x}^{2}}{a}$-x=lnx．
∴$\frac{{x}^{2}}{a}$=x+lnx，
分別畫(huà)出y=$\frac{{x}^{2}}{a}$和y=x+lnx的圖象，
由圖象可知，a=1或a＜0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和參數(shù)的取值范圍，考查了學(xué)生的分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，屬于難題．