【題目】如圖,直三棱柱的所有棱長都是2,,分別是,的中點(diǎn).

1)求證:平面

2)求直線與平面所成角的正弦值;

3)求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2;(3.

【解析】

1)取的中點(diǎn),連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求得,證得,,即可求解;

2)由(1)得到,即為平面的一個法向量,結(jié)合向量的夾角公式,即可求解;

3)求得平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.

1)如圖所示,取的中點(diǎn),連接,

由直三棱柱的所有棱長都是2,中點(diǎn),,

又平面平面,平面平面,平面,

所以平面,

分別為的中點(diǎn),可得,可得,,兩兩垂直.

為坐標(biāo)原點(diǎn),以,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

,,,,,

可得,,

,,∴,,

,∴平面.

2)由(1)可得平面,則,即為平面的一個法向量,

又由

設(shè)直線與平面所成的角為,

可得

所以直線與平面所成角的正弦值為.

3)設(shè)平面的法向量,

因?yàn)?/span>,可得 ,即

不妨取,得.

設(shè)二面角的平面角為,

,

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】日,某地援鄂醫(yī)護(hù)人員,,,,人(其中是隊(duì)長)圓滿完成抗擊新冠肺炎疫情任務(wù)返回本地,他們受到當(dāng)?shù)厝罕娕c領(lǐng)導(dǎo)的熱烈歡迎.當(dāng)?shù)孛襟w為了宣傳他們的優(yōu)秀事跡,讓這名醫(yī)護(hù)人員和接見他們的一位領(lǐng)導(dǎo)共人站一排進(jìn)行拍照,則領(lǐng)導(dǎo)和隊(duì)長站在兩端且相鄰,而不相鄰的排法種數(shù)為(

A.B.C.D.

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A.B.C.D.

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間隔時間(分鐘)

等候人數(shù)(人)

調(diào)查小組先從這組數(shù)據(jù)中選取組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下:先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實(shí)際等候人數(shù)的差,若差值的絕對值不超過,則稱所求線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”.

(1)從這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取組數(shù)據(jù)后,求剩下的組數(shù)據(jù)的間隔時間之差大于的概率;

(2)若選取的是后面組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”;

(3)在(2)的條件下,為了使等候的乘客不超過人,則間隔時間最多可以設(shè)置為多少分鐘?(精確到整數(shù))

參考公式:,

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【題目】已知拋物線Cy2=2pxp>0)上的點(diǎn)A(4,t)到其焦點(diǎn)F的距離為5.

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A.B.C.D.

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【題目】為了改善市民的生活環(huán)境,信陽市決定對信陽市的1萬家中小型化工企業(yè)進(jìn)行污染情況摸排,并出臺相應(yīng)的整治措施.通過對這些企業(yè)的排污口水質(zhì),周邊空氣質(zhì)量等的檢驗(yàn),把污染情況綜合折算成標(biāo)準(zhǔn)分100分,發(fā)現(xiàn)信陽市的這些化工企業(yè)污染情況標(biāo)準(zhǔn)分基本服從正態(tài)分布N(50,162),分值越低,說明污染越嚴(yán)重;如果分值在[50,60]內(nèi),可以認(rèn)為該企業(yè)治污水平基本達(dá)標(biāo).

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(2)大量調(diào)査表明,如果污染企業(yè)繼續(xù)生產(chǎn),那么標(biāo)準(zhǔn)分低于18分的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為10萬元,標(biāo)準(zhǔn)分在[18,34)內(nèi)的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為4萬元.長沙市決定關(guān)停80%的標(biāo)準(zhǔn)分低于18分的化工企業(yè)和60%的標(biāo)準(zhǔn)分在[18,34)內(nèi)的化工企業(yè),每月可減少的直接損失約有多少?

(附:若隨機(jī)變量,則, ,

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(Ⅰ)若內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

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