Question

14．已知直線y=a分別與函數(shù)y=e^x+1和y=$\sqrt{x-1}$交于A，B兩點(diǎn)，則A，B之間的最短距離是（　�。�

• A． $\frac{3-ln2}{2}$
• B． $\frac{5-ln2}{2}$
• C． $\frac{3+ln2}{2}$
• D． $\frac{5+ln2}{2}$

Answer 1

分析 首先求出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，后作差構(gòu)造新函數(shù)h（a）=a²-lna+2，利用函數(shù)單調(diào)性求h（a）的最小值．

解答 解：已知直線y=a分別與函數(shù)y=e^x+1和y=$\sqrt{x-1}$交于A，B兩點(diǎn)
∴e^x+1=a＞0⇒x=lna-1；
$\sqrt{x-1}=a$⇒x=a²+1；
∴AB兩點(diǎn)之間的距離為：a²+1-lna+1=a²-lna+2
令h（a）=a²-lna+2
h'（a）=2a-$\frac{1}{a}$=$\frac{2{a}^{2}-1}{a}$
由h'（a）=0，得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴當(dāng)0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，h'（a）＜0，h（a）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，h'（a）＞0，h（a）單調(diào)遞增；
∴h（a）≥h（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{5+ln2}{2}$
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)之間的距離，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值問(wèn)題，屬中等題．