Question

3．已知函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3，且存在實(shí)數(shù)x，使f（-x）=-f（x），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[1-\sqrt{3}，2\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知方程f（-x）=-f（x）有解即可，代入解析式化簡(jiǎn)后，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和換元法化簡(jiǎn)后，利用分類討論思想和一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別列出不等式（組），可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意知，方程f（-x）=-f（x）有解即可，
則f（-x）=4^-x-m2^-x+1+m²-3=-（4^x-m2^x+1+m²-3），
化簡(jiǎn)得，4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0，
即（2^x+2^-x）²-2m?（2^x+2^-x）+2m²-8=0有解即可．
設(shè)t=2^x+2^-x，則t=2^x+2^-x≥2，
所以方程等價(jià)為t²-2m?t+2m²-8=0在[2，+∞）上有解，
設(shè)g（t）=t²-2m?t+2m²-8，對(duì)稱軸x=$-\frac{-2m}{2}$=m，
①若m≥2，則△=4m²-4（2m²-8）≥0，
即m²≤8，解得$-2\sqrt{2}≤m≤2\sqrt{2}$，
所以$2≤m≤2\sqrt{2}$；
②若m＜2，要使t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2時(shí)有解，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{△=4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-8）≥0}\\{g（2）=4-4m+2{m}^{2}-8≤0}\end{array}\right.$，解得$1-\sqrt{3}≤m＜2$，
綜上，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為$[1-\sqrt{3}，2\sqrt{2}]$，
故答案為：$[1-\sqrt{3}，2\sqrt{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程有解的條件，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問(wèn)題，以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)、變形能力，整體思想和分類討論思想．