Question

10．已知C點(diǎn)在⊙O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切⊙O于A點(diǎn)，CD是∠ACB的平分線且交AE于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)D．
（1）求∠ADF的度數(shù)；
（2）若AB=AC，求$\frac{AC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直徑上的圓周角是直角、弦切角定理以及三角形內(nèi)內(nèi)角和定理等通過角的關(guān)系求解．
（2）先證明△BCA∽△ACE，再確定∠CAE=∠B=∠ACB=30°，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)∠EAC=α，根據(jù)弦切角定理，∠ABE=α．
根據(jù)三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠ACE=90°-2α．
由于CD是∠ACB的內(nèi)角平分線，所以FCE=45°-α．
再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．
根據(jù)對(duì)頂角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．
（2）∵AB=AC，∴∠CAE=∠B=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△BCA∽△ACE，∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，
又∵180°=∠ACE+∠CAE+∠AEC=∠ACE+∠CAE+（90°+∠ABE），
∴∠CAE=∠B=∠ACB=30°，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形的相似，解題的關(guān)鍵是確定角的相等關(guān)系，注意弦切角定理的合理運(yùn)用，屬于中檔題．