Question

2．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），設(shè)平面直角坐標(biāo)系原點與極坐標(biāo)系極點重合，x軸正半軸與極軸重合，且曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：
（2）求曲線C上的點到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），消去t可得普通方程．由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，可得：4ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，把x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把化為直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)曲線C上的點P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，利用點到直線的距離公式、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），消去t可得普通方程：x-y-1=0．
由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，
可得：4ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，化為直角坐標(biāo)方程：4x²+3y²=12，即$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
（2）設(shè)曲線C上的點P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，
則點P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-2sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ-φ）+1|}{\sqrt{2}}$$≤\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．
∴曲線C上的點到直線l距離的最大值為$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、點到直線的距離公式、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．