Question

3．如圖，在幾何體ABCDE中，BE⊥平面ABC，CD∥BE，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，且BE=AB=4，CD=2，點(diǎn)F在線段AC上，且AF=3FC
（1）求異面直線DF與AE所成角；
（2）求平面ABC與平面ADE所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以點(diǎn)B為原點(diǎn)，$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BE}$所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線DF與AE所成角．
（ 2）求出平面ABC的一個(gè)法向量和平面ADE的一個(gè)法向量，利用向量法能求出平面ABC與平面ADE所成二面角的余弦值．

解答 解：（1）依題得，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BE}$所在的直線分別為x，y，z軸
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），E（0，0，4），-----（1分）
∴$\overrightarrow{AE}=（-4，0，4）$，$\overrightarrow{AC}=（-4，4，0）$，
∵AF=3FC∴$\overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}=（-3，3，0）$
∴$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=（1，3，0）$∴F的坐標(biāo)為（1，3，0）---------（3分）
∵CD∥BE且CD=2∴D的坐標(biāo)為（0，4，2）
∴$\overrightarrow{FD}=（-1，1，2）$------（4分）
設(shè)異面直線DF與AE所成角為θ，
則$cosθ=|{cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{FD}＞}|=\frac{{|{4+0+8}|}}{{4\sqrt{2}•\sqrt{6}}}=\frac{12}{{8\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$θ=\frac{π}{6}$，
∴異面直線DF與AE所成角為$\frac{π}{6}$．---------（6分）
（ 2）平面ABC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{BE}=（0，0，4）$，---------（7分）
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z） 是平面ADE的一個(gè)法向量，
$\overrightarrow{AD}$=（-4，4，2），$\overrightarrow{AE}=（-4，0，4）$，
則$\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=0$，即$\left\{\begin{array}{l}-4x+0+4z=0\\-4x+4y+2z=0\end{array}\right.$
令y=1，解得x=2，z=2.$\overrightarrow n=（2，1，2）$---------（9分）
設(shè)平面ABC與平面ADE所成二面角為θ，由圖可知，θ為銳角，
∴$cosθ=|{cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow n＞}|=\frac{{|{0+0+8}|}}{4×3}=\frac{2}{3}$
∴平面ABC與平面ADE所成二面角的余弦值為$\frac{2}{3}$．---------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．