Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的一段圖象（如圖所示）
（1）求其解析式．
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）求f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象即可求其解析式．
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系即可求f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）設函數(shù)f（x）的周期為T，
則由圖知

3

4

T=

7π

8

-

π

8

=

3π

4

，∴T=π
∴ω=

2π

π

=2
∴f（x）=Asin（2x+ϕ）
將點（

7π

8

，0）代入得sin（2×

7π

8

+ϕ）=0，
∴

7π

4

+φ=2kπk∈Z
∴φ=-

7π

4

+2kπk∈Z
∵|ϕ|＜

π

2

∴φ=

π

4

∴f（x）=Asin（2x+

π

4

）
將點（0，

2

）代入得

2

=Asin

π

4

，∴A=2
∴f（x）=2sin（2x+

π

4

）
（2）由f（x）=2sin（2x+

π

4

）
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間滿足-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈z，
即-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈z
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ](k∈z)
（3）∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，
∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

12

]，
∴sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
當x=-

π

4

時f(x)min=-

2

當x=

π

8

時f（x）_max=2
故f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值為2最小值為-

2

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，以及三角函數(shù)性質(zhì)定義域，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．