Question

8．若x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$=1，求xy及x+y的最小值，何時(shí)取到？

Answer 1

分析 利用已知條件利用基本不等式求出xy的最小值，轉(zhuǎn)化x+y=（x+y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$）化簡后利用基本不等式求出最小值即可．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴1=$\frac{2}{x}+\frac{8}{y}$≥2$\sqrt{\frac{2}{x}•\frac{8}{y}}$，得xy≥64，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{x}=\frac{8}{y}=\frac{1}{2}$即x=4，y=16時(shí)取等號(hào)．
∵x＞0，y＞0，
∴$\frac{y}{x}$，$\frac{x}{y}$＞0．
∴x+y=（x+y）（$\frac{2}{x}+\frac{8}{y}$）=10+$\frac{2y}{x}+\frac{8x}{y}$≥10+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{8x}{y}}$=18．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2y}{x}=\frac{8x}{y}=4$，即x=6，y=12，
∴x=6，y=12時(shí)，x+y有最小值18．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．