Question

1．若方程（$\frac{1}{4}$）^x+（$\frac{1}{2}$）^x+a=0有正數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，0）．

Answer 1

分析 設(shè)t=（$\frac{1}{2}$）^x，于是可轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的方程t²+2t+a=0的根的問(wèn)題，明顯地，原方程有正實(shí)數(shù)解，即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程在（0，1）上有解的問(wèn)題．于是問(wèn)題迎刃而解

解答 解：設(shè)t=（$\frac{1}{2}$）^x，則有：a=-t²-t=-（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$．
原方程有正數(shù)解x＞0，則0＜t＜1，
即關(guān)于t的方程t²+t+a=0在（0，1）上有實(shí)根．所以對(duì)函數(shù)f（t）=t²+t+a，
則f（0）f（1）＜0即a（2+a）＜0，
解得-2＜a＜0；
故答案為：（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)最值的求法，二次方程根的分布問(wèn)題，以及對(duì)含參數(shù)的函數(shù)、方程的問(wèn)題的考查，亦對(duì)轉(zhuǎn)化思想，換元法在解題中的應(yīng)用進(jìn)行了考查．