Question

2．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x+2），且當(dāng)x＞1時，f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0，如果x₁+x₂＜2且（x₁-1）（x₂-1）＜0，則f（x₁）+f（x₂）的值（　�。�

• A． 恒小于0
• B． 恒大于0
• C． 可能為0
• D． 可正可負(fù)

Answer 1

分析 由f（2-x）=-f（x），知函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱且f（1）=0，由當(dāng)x＞1時，f（x）單調(diào)遞增，知當(dāng)x＜1時，f（x）單調(diào)遞增，由此能求推導(dǎo)出f（x₁）+f（x₂）＜0．

解答 解：∵f（-x）=-f（x+2），
∴函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，
當(dāng)x＞1時，f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0，常數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，
若x₁+x₂＜2，且（x₁-1）（x₂-1）＜0，
不妨設(shè)x₁＜1，x₂＞1，則1＜x₂＜2-x₁，
∵當(dāng)x＞1時，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x₂）＜f（2-x₁）
∵函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=-f（2-x），
∴f（x₂）＜-f（x₁）
∴f（x₁）+f（x₂）＜0，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的合理運(yùn)用，同時考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．