Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=3，且2S_n=a_n+1+2n．
（1）求a₂；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）令b_n=（2n-1）（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1時(shí)，2S₁=2a₁=a₂+2，a₂=4；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2s_n-2s_n-1=a_n+1-a_n+2，整理可得a_n+1=3a_n-2，a_n+1-1=3（a_n-1），因此{(lán)a_n-1}從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列，由$\frac{{{a_2}-1}}{{{a_1}-1}}=\frac{3}{2}≠3$，${a_n}-1=\left\{{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{3^{n-1}}，n≥2}\end{array}}\right.$，${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3^{n-1}}+1，n≥2}\end{array}}\right.$；
（3）由（2）可知：${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{（2n-1）•{3^{n-1}}，n≥2}\end{array}}\right.$，${T_n}=2+3×3+5×{3^2}+7×{3^3}+…+（2n-1）×{3^{n-1}}$，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=2a₁=a₂+2，
∴a₂=4…1；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2s_n-2s_n-1=a_n+1+2n-a_n-2（n-1）=a_n+1-a_n+2，
∴a_n+1=3a_n-2，
∴a_n+1-1=3（a_n-1）…4，
∴$\frac{{{a_{n+1}}-1}}{{{a_n}-1}}=3（n≥2）$，
∴{a_n-1}從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列…5，
∵$\frac{{{a_2}-1}}{{{a_1}-1}}=\frac{3}{2}≠3$，
∴${a_n}-1=\left\{{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{3^{n-1}}，n≥2}\end{array}}\right.$，
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3^{n-1}}+1，n≥2}\end{array}}\right.$；
（3）∴${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{（2n-1）•{3^{n-1}}，n≥2}\end{array}}\right.$…8
∴${T_n}=2+3×3+5×{3^2}+7×{3^3}+…+（2n-1）×{3^{n-1}}$①…9
∴$3{T_n}=6+3×{3^2}+5×{3^3}+7×{3^4}+…+（2n-1）×{3^n}$②
①-②得：$-2{T_n}=5+2（{3^2}+{3^3}+{3^4}+…+{3^{n-1}}）-（2n-1）×{3^n}$，
=$5+2×\frac{{{3^2}（1-{3^{n-2}}）}}{1-3}-（2n-1）×{3^n}$，
=（2-2n）×3ⁿ-4，…11
∴${T_n}=（n-1）×{3^n}+2$…12

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的遞推公式，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．