Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，g（x）=e^x-2，若g（m）=f（n）成立，則n-m的最小值為（　�。�

• A． 1-ln2
• B． ln2
• C． 2$\sqrt{e}$-3
• D． e²-3

Answer 1

分析 根據(jù)g（m）=f（n）=t得到m，n的關(guān)系，利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：不妨設(shè)g（m）=f（n）=t，
∴e^m-2=ln$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$=t，（t＞0）
∴m-2=lnt，m=2+lnt，n=2•e${\;}^{t-\frac{1}{2}}$
故n-m=2•e${\;}^{t-\frac{1}{2}}$-2-lnt，（t＞0）
令h（t）=2•e${\;}^{t-\frac{1}{2}}$-2-lnt，（t＞0），
h′（t）=2•e${\;}^{t-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{t}$，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且h′（$\frac{1}{2}$）=0，
當t＞$\frac{1}{2}$時，h′（t）＞0，
當0＜t＜$\frac{1}{2}$時，h′（t）＜0，
即當t=$\frac{1}{2}$時，h（t）取得極小值同時也是最小值，
此時h（$\frac{1}{2}$）=2•e${\;}^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}$-2-ln$\frac{1}{2}$=2-2+ln2=ln2，即n-m的最小值為ln2；
故選：B

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用消元法進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．