Question

8．四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，且AB=1，AC=2，AD=4，則點(diǎn)A到平面BCD的距離是$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．

Answer 1

分析 在△BCD中，利用余弦定理可得cos∠BCD，進(jìn)而得到sin∠BCD，S_△BCD．設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離是h，利用V_A-BCD=V_D-ABC，即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵AB、AC、AD兩兩垂直，
∴在Rt△BAD中，BD=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，同理可得BC=$\sqrt{5}$，CD=2$\sqrt{5}$．
在△BCD中，cos∠BCD=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{17}）^{2}}{2×\sqrt{5}×2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．
∴sin∠BCD=$\sqrt{1-（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}$．
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{21}}{5}$=$\sqrt{21}$．
設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離是h，
則V_A-BCD=V_D-ABC，
∴$\frac{1}{3}×h×{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×AD×$S_△ABC，
∴h=$\frac{4×\frac{1}{2}×1×2}{\sqrt{21}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．

點(diǎn)評 本題考查了三棱錐的體積計算公式、線面垂直的性質(zhì)、勾股定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．