2.已知圓C經(jīng)過三點O(0,0),M1(1,1),M2(4,2).
(1)求圓C的方程;
(2)設直線x-y+m=0與圓C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點在圓x2+y2=5上,求實數(shù)m的值.

分析 (1)設出圓的一般方程,利用待定系數(shù)法列出方程組,即可求出圓的方程;
(2)設出點A、B以及AB的中點M的坐標,由方程組$\left\{\begin{array}{l}{{(x-4)}^{2}{+(y+3)}^{2}=25}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$和中點坐標公式求出點M的坐標,代入圓的方程x2+y2=5中,即可求出m的值.

解答 解:(1)設過點O、M1和M2圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{2+D+E+F=0}\\{20+4D+2E+F=0}\end{array}\right.$,
解得D=-8,E=6,F(xiàn)=0;
所求圓的方程為x2+y2-8x+6y=0,
化為標準方程是:(x-4)2+(y+3)2=25;
(2)設點A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x0,y0),
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{{(x-4)}^{2}{+(y+3)}^{2}=25}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$,消去y得2x2+2(m-1)x+m2+6m=0,
所以x0=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{1-m}{2}$,y0=x0+m=$\frac{1+m}{2}$,
因為點M在圓上,所以${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=5,
所以${(\frac{1-m}{2})}^{2}$+${(\frac{1+m}{2})}^{2}$=5,
解得m=±3;
又△=4(m-1)2-4•2(m2+6m)>0,
解得-7-5$\sqrt{2}$<m<-7+5$\sqrt{2}$,
綜上,m=-3.

點評 本題考查了待定系數(shù)法求圓的方程的應用問題,也考查了函數(shù)與方程思想的合理運用問題,是綜合題.

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