Question

20．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=2a_n+1
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+1，變形為a_n+1+1=2（a_n+1利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，變形為a_n+1+1=2（a_n+1），∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴{b_n}的前n項和T_n=$（\frac{1}{{2}^{1}-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點評 本題考查了遞推關系、等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．