Question

10．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）在x∈[1，3]上的最小值和最大值（直接寫出結(jié)果即可）：
（2）若函數(shù)g（x）=f（x²）-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{x}$在（0，t]上是減函數(shù)，求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可分類討論得到函數(shù)f（x）在x∈[1，3]上的最小值和最大值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x²）-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{x}$在（0，t]上是減函數(shù)，則g′（x）≤0恒成立，解得答案．

解答 解：（1）當0＜a≤1時，函數(shù)f（x）在x∈[1，3]上的最小值為1+a，最大值為3+$\frac{a}{3}$；
當1＜a≤3時，函數(shù)f（x）在x∈[1，3]上的最小值為2$\sqrt{a}$，最大值為3+$\frac{a}{3}$；
當3＜a＜9時，函數(shù)f（x）在x∈[1，3]上的最小值為2$\sqrt{a}$，最大值為1+a；
當a≥9時，函數(shù)f（x）在x∈[1，3]上的最小值為3+$\frac{a}{3}$，最大值為1+a；
（2）函數(shù)g（x）=f（x²）-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{x}$=x²+$\frac{4}{x}$，
則g′（x）=2x-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
若函數(shù)g（x）=f（x²）-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{x}$在（0，t]上是減函數(shù)，
則g′（x）≤0恒成立，
即g′（t）=2t-$\frac{4}{{t}^{2}}$≤0，
解得：t∈（0，$\root{3}{2}$]，
即t的最大值為$\root{3}{2}$．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的值域，函數(shù)的最值及其幾何意義，難度中檔．