Question

5．過點M（1，0）的直線交橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1于A、B兩點，直線l：x=4與x軸交于點N，設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為P（異于點B）．
（Ⅰ）求證：P、B、N三點共線；
（Ⅱ）過點A作PB的平行線交直線l：x=4于點Q，記△AQM，△QMN，△BMN的面積分別為S₁，S₂，S₃，求$\frac{{S}_{2}^{2}}{{S}_{1}{S}_{3}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線AB：y=k（x-1），代入橢圓，整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，由此利用韋達定理、直線方程，結(jié)合已知條件能證明P、B、N三點共線．
（Ⅱ）Q（4，y₀），推導(dǎo)出y₀=2y₁，由點到直線的距離和兩點間距離公式能求出$\frac{{{S}_{2}}^{2}}{{S}_{1}{S}_{3}}$的值．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)直線AB：y=k（x-1），
代入橢圓，整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（x₁，-y₁），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
直線PB的方程為y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），即y=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}x-\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
又y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂-2）=$\frac{-2k}{4{k}^{2}+1}$，
x₁y₂+x₂y₁=x₁•k（x₂-1）+x₂•k（x₁-1）=k（2x₁x₂-x₁-x₂）=$\frac{-8k}{4{k}^{2}+1}$，
∴x₁y₂+x₂y₁=4（y₁+y₂），
代入直線PB的方程，化簡得PB：y=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-4），
∴點N（4，0）在直線PB上，即P、B、N三點共線．
解：（Ⅱ）Q（4，y₀），∵AQ∥PB，即AQ∥PN，∴k_AQ=k_PB，
即$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{4-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}}{4-{x}_{1}}$，∴y₀=2y₁，
∴Q（4，y₀）到直線AM：kx-y-k=0的距離d=$\frac{|3k-{y}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|3k-2{y}_{1}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
又|AM|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{k}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}|{y}_{1}|}{|k|}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$|AM|•d=$\frac{|3k-2{y}_{1}|•|{y}_{1}|}{2|k|}$，S₂=$\frac{1}{2}$|MN|•|y₀|=3|y₁|，
S₃=$\frac{1}{2}$|MN|•|y₂|=$\frac{3}{2}$|y₂|，
又y₁y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²（x₁x₂-x₁-x₂+1）=$\frac{-3{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，
且${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2k}{4{k}^{2}+1}$，∴2y₁y₂=3k（y₁+y₂），$3k-2{y}_{1}=\frac{2{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$-2y₁=-$\frac{2{{y}_{1}}^{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∴$\frac{{{S}_{2}}^{2}}{{S}_{1}{S}_{3}}$=$\frac{12|k|{{y}_{1}}^{2}}{|3k-2{y}_{1}||{y}_{1}{y}_{2}|}$=4．

點評 本題考查三點其線的證明，考查代數(shù)式的值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、直線方程、點到直線的距離和兩點間距離公式的合理運用．