Question

9．設(shè)△ABC的內(nèi)角，A，B，C對邊的邊長分別為a，b，c，且acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c．
（1）求$\frac{tanA}{tanB}$的值；
（2）求tan（A-B）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦定理、誘導(dǎo)公式可得sin（A-B）=$\frac{1}{2}$sin（A+B），再利用兩角和差的三角公式、同角三角的基本關(guān)系，求得 $\frac{tanA}{tanB}$ 的值．
（2）利用兩角和差的正切公式，基本不等式，求得tan（A-B）的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，∵acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{1}{2}$sinC，
即sin（A-B）=$\frac{1}{2}$sin（A+B），即 sinAcosB-sinBcosA=$\frac{1}{2}$（sinAcosB+sinBcosA ），
∴sinAcosB=3sinBcosA，∴$\frac{tanA}{tanB}$=3．
（2）∵tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{2tanB}{1+{3tan}^{2}B}$=$\frac{2}{\frac{1}{tanB}+3tanB}$≤$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則tan（A-B）的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此時，$\frac{1}{tanB}$=3tanB，即 tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查正弦定理、誘導(dǎo)公式，兩角和差的正切公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．