Question

8．已知函數(shù)f（x）=mx²+（1-3m）x-4，m∈R．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時，求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（x）＞-1；
（Ⅲ）當(dāng)m＜0時，若存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)m=1時，函數(shù)f（x）=x²-2x-4在（-2，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，即可求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）分類討論，即可解關(guān)于x的不等式f（x）＞-1；
（Ⅲ）若存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）＞0，則（1-3m）²+16m＞0，即可求m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=1時，
函數(shù)f（x）=x²-2x-4在（-2，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)．  （2分）
又f（-2）=4，f（1）=-5，f（2）=-4，
所以，f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值分別為4和-5．     （4分）
（Ⅱ）不等式f（x）＞-1，即mx²+（1-3m）x-3＞0，
當(dāng)m=0時，解得x＞3．           （5分）
當(dāng)m≠0時，（x-3）（mx+1）=0的兩根為3和$-\frac{1}{m}$，（6分）
當(dāng)m＞0時，$-\frac{1}{m}＜3$，不等式的解集為$\{x|x＜-\frac{1}{m}或x＞3\}$．   （7分）
當(dāng)m＜0時，$3-（-\frac{1}{m}）=\frac{3m+1}{m}$，
所以，當(dāng)$m＜-\frac{1}{3}$時，$-\frac{1}{m}＜3$，不等式的解集為$\{x|-\frac{1}{m}＜x＜3\}$．   （8分）
當(dāng)$m=-\frac{1}{3}$時，不等式的解集為∅．    （9分）
當(dāng)$-\frac{1}{3}＜m＜0$時，$3＜-\frac{1}{m}$，不等式的解集為$\{x|3＜x＜-\frac{1}{m}\}$．    （10分）
綜上，當(dāng)m＞0時，解集為$\{x|x＜-\frac{1}{m}或x＞3\}$；當(dāng)m=0時，解集為{x|x＞3}；當(dāng)$-\frac{1}{3}＜m＜0$時，解集為$\{x|3＜x＜-\frac{1}{m}\}$；當(dāng)m=-$\frac{1}{3}$時，解集為∅；當(dāng)$m＜-\frac{1}{3}$時，解集為$\{x|-\frac{1}{m}＜x＜3\}$．
（Ⅲ）因為m＜0，所以f（x）=mx²+（1-3m）x-4是開口向下的拋物線，
拋物線的對稱軸為$x=-\frac{1-3m}{2m}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2m}＞1$，（11分）
若存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）＞0，則（1-3m）²+16m＞0，（12分）
即9m²+10m+1＞0，解得m＜-1或$-\frac{1}{9}＜m＜0$，
綜上，m的取值范圍是$（-∞，-1）∪（-\frac{1}{9}，0）$．     （13分）

點評 本題考查二次函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查存在性問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．