Question

7．國內(nèi)某大學有男生6000人，女生4000人，該校想了解本校學生的運動狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學生中抽取100人，調(diào)查他們平均每天運動的時間（單位：小時），統(tǒng)計表明該校學生平均每天運動的時間范圍是[0，3]，若規(guī)定平均每天運動的時間不少于2小時的學生為“運動達人”，低于2小時的學生為“非運動達人”．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)按性別與“是否為‘運動達人’”進行統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表：

運動時間 性別	運動達人	非運動達人	合計
男生	36
女生		26
合計			100

（1）請根據(jù)題目信息，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補充完整，并通過計算判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為性別與“是否為‘運動達人’”有關；
（2）為了進一步了解學生的運動情況及體能，對樣本中的甲、乙兩位運動達人男生1500米的跑步成績進行測試，對多次測試成績進行統(tǒng)計，得到甲1500米跑步成績的時間范圍是[4，5]（單位：分鐘），乙1500米跑步成績的時間范圍是[4.5，5.5]（單位：分鐘），現(xiàn)同時對甲、乙兩人進行1500米跑步測試，求乙比甲跑得快的概率．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，該校根據(jù)性別采取分層柚樣的100人中，有60人為男生，40人為女生，據(jù)此將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補充完整，計算K²，與臨界值比較即可得出結論；
（Ⅱ）設甲、乙1500米跑步測試的時間分別為x，y分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域為$\left\{\begin{array}{l}{4≤x≤5}\\{4.5≤y≤5.5}\end{array}\right.$，設事件A為“乙比甲跑得快”，則滿足的區(qū)域為x＞y，以面積為測度，即可求出概率．

解答 解：（Ⅰ）由題意，該校根據(jù)性別采取分層柚樣的100人中，有60人為男生，40人為女生，據(jù)此將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補充完整如下表所示．

運動時間 性別	運動達人	非運動達人	合計
男生	36	24	60
女生	14	26	40
合計	50	50	100

…（2分）
由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值$k=\frac{{100×{{（36×26-24×14）}^2}}}{50×50×60×40}=6＞5.024$，…（4分）
所以在犯錯誤概率不超過0.025的前提下，可以認為性別與“是否為‘運動達人’”有關．
…（6分）
（Ⅱ）設甲、乙1500米跑步測試的時間分別為x，y分鐘，
則基本事件滿足的區(qū)域為$\left\{\begin{array}{l}{4≤x≤5}\\{4.5≤y≤5.5}\end{array}\right.$，
設事件A為“乙比甲跑得快”，則滿足的區(qū)域為x＞y，如圖陰影所示，

由幾何關系的概率公式可得P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{1×1}$=$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查獨立性檢驗知識的運用，考查幾何概型，考查學生的計算能力，屬于中檔題．