Question

19．已知f（x）=ax²-lnx，設曲線y=f（x）在x=t（0＜t＜2）處的切線為l．
（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當a=-$\frac{1}{8}$時，證明：當x∈（0，2）時，曲線y=f（x）與l有且僅有一個公共點．

Answer 1

分析 （1）求解定義域為：（0，+∞），由f（x）=ax²-lnx，f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，利用不等式，分類討論判斷單調(diào)性；
（2）確定切線方程為：y=f′（t）（x-t）+f（t），構造函數(shù)設g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，求解導數(shù)g′（x）=-$-\frac{1}{4}$x$-\frac{1}{x}$-f′（t），判斷單調(diào)性，求解得出極值，當x∈（0，t）或（t，2），g（x）＞g（t）=0，得出所證明的結(jié)論．

解答 解；（1）f（x）的定義域為：（0，+∞）
由f（x）=ax²-lnx，f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，
①若a≤0，則f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$＜0，
②若a＞0，則f2ax-$\frac{1}{x}$=0，解得x=$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，
則當x∈（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上單調(diào)遞減，
當x∈（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞增．，
（2）當a=-$\frac{1}{8}$時，f（x）=$\frac{1}{8}$x²-lnx，f′（x）=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{x}$，
∴切線方程為：y=f′（t）（x-t）+f（t），
設g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，∴g（t）=0，g′（t）=0，
設h（x）=g′（x）=-$-\frac{1}{4}$x$-\frac{1}{x}$-f′（t），則當x∈（0，2）時，h′（x）=-$\frac{1}{4}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴g′（x）在（0，2）上是增函數(shù)，且g′（t）=0，
∴當x∈（0，t）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，t）上是減函數(shù)
當x∈（t，2）時，g′（x）＞0，g（x）在（t，2）上是增函數(shù)，
故當x∈（0，t）或（t，2），g（x）＞g（t）=0，
∴當且僅當x=t時，f（x）=f′（t）（x-t）+f（t），
即當x∈（0，2），曲線y=f（x）與l有且僅有一個公共點．，

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，函數(shù)的單調(diào)性與極值，分類討論的數(shù)學思想，學生分析解決綜合問題的能力，屬于中檔題．