Question

19．已知f（x）=ax²-lnx，設(shè)曲線y=f（x）在x=t（0＜t＜2）處的切線為l．
（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=-$\frac{1}{8}$時(shí)，證明：當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，曲線y=f（x）與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求解定義域?yàn)椋海?，+∞），由f（x）=ax²-lnx，f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，利用不等式，分類討論判斷單調(diào)性；
（2）確定切線方程為：y=f′（t）（x-t）+f（t），構(gòu)造函數(shù)設(shè)g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，求解導(dǎo)數(shù)g′（x）=-$-\frac{1}{4}$x$-\frac{1}{x}$-f′（t），判斷單調(diào)性，求解得出極值，當(dāng)x∈（0，t）或（t，2），g（x）＞g（t）=0，得出所證明的結(jié)論．

解答 解；（1）f（x）的定義域?yàn)椋海?，+∞）
由f（x）=ax²-lnx，f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，
①若a≤0，則f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$＜0，
②若a＞0，則f2ax-$\frac{1}{x}$=0，解得x=$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，
則當(dāng)x∈（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞增．，
（2）當(dāng)a=-$\frac{1}{8}$時(shí)，f（x）=$\frac{1}{8}$x²-lnx，f′（x）=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{x}$，
∴切線方程為：y=f′（t）（x-t）+f（t），
設(shè)g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，∴g（t）=0，g′（t）=0，
設(shè)h（x）=g′（x）=-$-\frac{1}{4}$x$-\frac{1}{x}$-f′（t），則當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h′（x）=-$\frac{1}{4}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴g′（x）在（0，2）上是增函數(shù)，且g′（t）=0，
∴當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，t）上是減函數(shù)
當(dāng)x∈（t，2）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（t，2）上是增函數(shù)，
故當(dāng)x∈（0，t）或（t，2），g（x）＞g（t）=0，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=t時(shí)，f（x）=f′（t）（x-t）+f（t），
即當(dāng)x∈（0，2），曲線y=f（x）與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．，

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，函數(shù)的單調(diào)性與極值，分類討論的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生分析解決綜合問題的能力，屬于中檔題．