Question

11．根據(jù)所給條件求直線的方程：
（1）直線過點(diǎn)（-4，0），傾斜角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）直線過點(diǎn)（-3，4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12；
（3）直線過點(diǎn)（5，10），且到原點(diǎn)的距離為5．

Answer 1

分析 （1）通過直線的傾斜角，求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程求出直線的方程；
（2）由題意設(shè)所求直線方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，代入點(diǎn)可得關(guān)于ab的方程，聯(lián)立a+b可解得a，b的值，即可得方程；
（3）當(dāng)直線無斜率時(shí)，方程為x-5=0，滿足到原點(diǎn)的距離為5；當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)方程為y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得k的方程，解方程可得答案．

解答 解：（1）∵傾斜角α的正弦值是$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosα=±$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}=±\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴斜率k=$±\frac{1}{3}$．
直線過點(diǎn)（-4，0），由直線的點(diǎn)斜式方程得到：y-0=±$\frac{1}{3}$（x+4）．
即：x-3y+4=0或x+3y+4=0．
（2）由題意設(shè)所求直線方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，
∵點(diǎn)（-3，4）在直線上，
則有$\frac{-3}{a}+\frac{4}=1$，又a+b=12，兩方程聯(lián)立解得$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=16}\end{array}\right.$．
故所求直線的方程為：x+3y-9=0，或4x-y+16=0．
（3）當(dāng)直線無斜率時(shí)，方程為x-5=0，滿足到原點(diǎn)的距離為5；
當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)方程為y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得$\frac{|10-5k|}{\sqrt{{k}^{2}+（-1）^{2}}}=5$，解得k=$\frac{3}{4}$．
∴直線的方程為：3x-4y+25=0
綜合可得所求直線的方程為：x-5=0或3x-4y+25=0．

點(diǎn)評 本題考查直線的斜率與傾斜角的計(jì)算，考查直線點(diǎn)斜式和截距式方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式，涉及分類討論的思想，屬中檔題．