Question

已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足
①

GA

+

GB

+

GC

=

0

；
②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|；
③|

GM

|∥|

AB

|；
求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題目給出的條件，分別得到G為三角形ABC的重心，M為三角形ABC的外心，設(shè)出G點(diǎn)坐標(biāo)，由GM∥AB，可知M和G具有相同的縱坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由M到A和C的距離相等列式可得G的軌跡方程，利用代入法轉(zhuǎn)化為C的軌跡方程．

解答： 解：由

GA

+

GB

+

GC

=

0

得，G為重心，
由②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|得，M為外心．
所以M點(diǎn)在y軸上（M到AB兩點(diǎn)距離相等）．
又|

GM

|∥|

AB

|，則GM∥AB．
設(shè)M為（0，y），G為（x，y）（y≠0），由重心坐標(biāo)公式得C為（3x，3y）．
再由MA=MC，得

1+y2

=

(3x)2+(y-3y)2

．
整理得：9x²+3y²=1①．
再設(shè)C（x'，y'），由3x=x'，3y=y'得x=

x′

3

，y=

y′

3

．
代入①得：x′2+

y′2

3

=1．
所以△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為x′2+

y′2

3

=1（y≠0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的條件判出G點(diǎn)是三角形ABC的重心，M為外心，考查了三角形的重心坐標(biāo)公式，訓(xùn)練了代入法求曲線方程，此題屬中檔題．