Question

18．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點(diǎn)G，O為GC的中點(diǎn)，且FO⊥平面ABCD，F(xiàn)O=$\sqrt{3}$．
（1）求BF與平面ABCD所成的角的正切值；
（2）求三棱錐O-ADE的體積；
（3）求證：平面AEF⊥平面BCF．

Answer 1

分析 （1）證明∠FBO即為BF與平面ABCD所成的角，即可求BF與平面ABCD所成的角的正切值；
（2）利用V_O-ADE=V_E-ADO，求三棱錐O-ADE的體積；
（3）證明CF⊥平面AEF，即可證明平面AEF⊥平面BCF．

解答 （1）解：連接BO，因?yàn)檎�方形ABCD的邊長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$，所以BD⊥AC，且DB=AC=4，又O為GC的中點(diǎn)，所以GO=1，GB=2，BO=$\sqrt{5}$…（2分）
又FO⊥平面ABCD，且$FO=\sqrt{3}$，所以∠FBO即為BF與平面ABCD所成的角
所以，tan∠FBO=$\frac{FO}{BO}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$…（4分）
（2）解：由上知，AO=3，所以S_△ADO=$\frac{1}{2}•AO•DG$=$\frac{1}{2}•3•2$=3----------（6分）
又BDEF是平行四邊形，且FO⊥平面ABCD，$FO=\sqrt{3}$，所以三棱錐E-ADO的高為$\sqrt{3}$
所以V_O-ADE=V_E-ADO=$\frac{1}{3}•3•\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$-------（8分）
（3）證明：由正方形ABCD知BD⊥AC．因?yàn)镕O⊥平面ABCD，所以BD⊥FO，
從而BD⊥平面ACF，得BD⊥CF．因?yàn)锽D∥EF，所以CF⊥EF．-----------------（10分）
由（1）知AC=4，OC=1，AO=3，又$FO=\sqrt{3}$，故有$AF=2\sqrt{3}$，F(xiàn)C=2，
因AF²+FC²=AC²，所以CF⊥AF，由于EF∩AF=F，
所以CF⊥平面AEF，而CF?平面BCF，
所以平面AEF⊥平面BCF．-------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角，考查線面垂直、面面垂直的判定，考查等體積法求三棱錐的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．