Question

【題目】已知項數(shù)為項的有窮數(shù)列，若同時滿足以下三個條件：

，為正整數(shù)；或1，其中，3，，；

任取數(shù)列中的兩項，，剩下的項中一定存在兩項，，滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列．

若數(shù)列是首項為1，公差為1，項數(shù)為6項的等差數(shù)列，判斷數(shù)列是否是數(shù)列，并說明理由．

當時，設數(shù)列中1出現(xiàn)次，2出現(xiàn)次，3出現(xiàn)次，其中，，．

求證：，，；

當時，求數(shù)列中項數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列不是數(shù)列； （2）見解析； （3）2027.

【解析】

根據(jù)數(shù)列的定義判斷即可；

根據(jù)數(shù)列的定義證明即可；

先證明項數(shù)的最小值是2027：再證明上述數(shù)列是數(shù)列，從而判斷即可．

若數(shù)列：1，2，3，4，5，6是數(shù)列，

取數(shù)列中的兩項1和2，

則剩下的4項中不存在兩項，，

使得，故數(shù)列不是數(shù)列；

若，對于，，若存在，滿足，

，于是，，

故，，從而，矛盾，

故，同理，

下面證明：

若，即2出現(xiàn)了1次，不妨設，，

等式左邊是3，等式右邊有幾種可能，分別是或或，

等式兩邊不相等，矛盾，于是；

設出現(xiàn)次，2出現(xiàn)次，

2019出現(xiàn)次，其中，，，，

由可知，，，且，同理，

又，，，

故項數(shù)，

下面證明項數(shù)的最小值是2027：

取，，，，，

可以得到數(shù)列：1，1，1，1，2，2，3，，2016，2017，2018，2019，2019，2019，2019，

接下來證明上述數(shù)列是數(shù)列：

若任取的兩項分別是1，1，則其余的項中還存在2個1，滿足，

同理，若任取的兩項分別是2019，2019也滿足要求，

若任取的兩項分別是1，2，則其余的項中還存在3個1，1個2，滿足要求，

同理，若任取的兩項分別是2018，2019也滿足要求，

若任取，，則在其中的項中取，，滿足要求，

同理，若，也滿足要求，

若任取的兩項，滿足，

則在其余的項中選取，，

每個數(shù)最多被選取了1次，于是也滿足要求，

從而，項數(shù)的最小值是2027．