Question

7．若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足f（x+1）-f（x）=4x+1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（2^x），求g（x）在[-3，0]的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式，
（2）利用換元法和函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．

解答 解：（1）由f（0）=3，得c=3，
∴f（x）=ax²+bx+3．
又f（x+1）-f（x）=4x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）+3-（ax²+bx+3）=4x+1，
即2ax+a+b=4x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ a+b=1\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1.\end{array}\right.$
∴f（x）=2x²-x+3．
（2）g（x）=f（2^x）=2•2^2x-2^x+3，
令2^x=t，$t∈[{\frac{1}{8}，1}]$，
∴h（t）=2t²-t+3，
$t=\frac{1}{4}$時，g（x）_max=h（t）_max=h（1）=2-1+3=4，
g（x）_min=h（t）_min=h（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$+3=$\frac{23}{8}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)最值的問題，考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．