Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x²（a＞0），x∈[0，+∞）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最值；
（2）若函數(shù)y=f'（x）的遞減區(qū)間為A，試探究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間A上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出，
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求求出．

解答 解：（1）依題意，f'（x）=3x²-x=x（3x-1），
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{3}$時(shí)，f'（x）＜0，
當(dāng)$x＞\frac{1}{3}$時(shí)，f'（x）＞0，
所以當(dāng)$x=\frac{1}{3}$時(shí)，
函數(shù)f（x）有最小值$f（{\frac{1}{3}}）=-\frac{1}{54}$，
又$f（0）=0，f（1）=\frac{1}{2}$，故函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值為$\frac{1}{2}$，最小值為$-\frac{1}{54}$，
（2）依題意，f'（x）=3ax²-x，因?yàn)椋?ax²-x）′=6ax-1＜0，
所以f'（x）的遞減區(qū)間為$（{0，\frac{1}{6a}}）$．
當(dāng)$x∈（{0，\frac{1}{6a}}）$時(shí)，f'（x）=3ax²-x=x（3ax-1）＜0，
所以f（x）在f'（x）的遞減區(qū)間上也遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值和單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．