Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（2m-3）x+lnx（m∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的x∈（1，2），總有f（x）＜-2，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）結(jié)合（1），求出f（x）在（1，2）上的最大值，得到關(guān)于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（2m-3）x+lnx，（x＞0），
f′（x）=x+（2m-3）+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+（2m-3）x+1}{x}$，
令g（x）=x²+（2m-3）x+1，
△=4m²-12m+5≤0即$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{5}{2}$時(shí)，
f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）遞增，
△＞0時(shí)，解得：m＞$\frac{5}{2}$或m＜$\frac{1}{2}$，
m＞$\frac{5}{2}$時(shí)，x₁=3-2m-$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$＜x₂=3-2m+$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$＜0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增，
m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，0＜x₁=3-2m-$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$＜x₂=3-2m+$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$，
∴f（x）在（0，3-2m-$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$）遞增，在（3-2m-$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$，3-2m+$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$）遞減，
在（3-2m+$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$，+∞）遞增；
（2）由（1）得：m≥$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增，
故f（x）在（1，2）遞增，只需f（2）=2+2（2m-3）+ln2＜-2即可，解得：m＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln2＜$\frac{1}{2}$，不合題意，舍，
m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，x₁3-2m-$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$＞2，
∴f（x）在（1，2）遞增，只需f（2）=2+2（2m-3）+ln2＜-2即可，解得：m＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln2＜$\frac{1}{2}$，符合題意，
故m＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．