Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），且不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，令f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，對判別式討論，即當a≥$\frac{1}{2}$時，當0＜a≤$\frac{1}{2}$時，a≤0時，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個極值點，由（Ⅱ）可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，不等式f（x₁）≥mx₂恒成立即為 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$≥m，求得 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$（x＞0），
令f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，
①當△=4-8a≤0，即a≥$\frac{1}{2}$時，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當△=4-8a＞0即a＜$\frac{1}{2}$時，由2x²-2x+a=0，得x=$\frac{1±\sqrt{1-2a}}{2}$，
由f'（x）＞0，得0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
由f'（x）＜0，得 $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
a≤0時，$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$≤0，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）遞減，在（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）遞增，
0＜a＜$\frac{1}{2}$時，得 $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$＞0，
f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$）遞減，在（ $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）遞增，
在（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）遞減；
綜上，當a≥$\frac{1}{2}$時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$），（ $\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（  $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）；
a≤0時，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）遞減，在（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）遞增；
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個極值點，
由（1）可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
由f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，則x₁+x₂=1，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
由0＜a＜$\frac{1}{2}$，可得0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，
$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，
令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx，（0＜x＜$\frac{1}{2}$），h′（x）=-1-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$+2lnx，
由0＜x＜$\frac{1}{2}$，則-1＜x-1＜-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$＜（x-1）²＜1，-4＜-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$＜-1，
又2lnx＜0，則h′（x）＜0，即h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，
即有h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$-ln2，即$\frac{f（x）}{x}$＞-$\frac{3}{2}$-ln2，
即有實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-$\frac{3}{2}$-ln2]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導數(shù)的幾何意義，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，以及不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或范圍，屬于中檔題．