Question

17．在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G為AD中點．
（1）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實；
（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小；
（3）求四面體E-BGC的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行判斷即可．
（2）根據(jù)二面角的定義，作出二面角的平面角，進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，
設(shè)F為線段CE的中點，H是線段CD的中點，
連接FH，則FH∥=$\frac{1}{2}$ED，
∴FH∥=AB，∴四邊形ABFH是平行四邊形，
∴BF∥AH，
由BF?平面ACD內(nèi)，AH?平面ACD，
∴BF∥平面ACD；…（4分）
（2）將EB，DA分別延長相較于點M，連接MC
可證得△DCF，△ECF均為直角三角形，且DC⊥CF，EC⊥CF
∴∠ECD即為所求二面角的平面角
在Rt△CDE中，$CD=DE=2，CE=2\sqrt{2}$
∴∠ECD=45°
（3）連接BG、CG、EG，得三棱錐C-BGE，由ED⊥平面ACD，
∴平面ABED⊥平面ACD，又CG⊥AD，
∴CG⊥平面ABED，
則${V_{E-BGC}}={V_{C-BGE}}=\frac{1}{3}{S_{△BGE}}×GC=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題主要考查線面平行，二面角的求解以及空間幾何體的體積的計算，利用二面角平面角的定義以及三棱錐的體積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．