Question

5．某研究性學習小組對4月份晝夜溫差大小與花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系研究，記錄了4月1日至4月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，如下表：

日 期	4月1日	4月2日	4月3日	4月4日	4月5日
溫差x（℃）	10	11	13	12	8
發(fā)芽數(shù)y（顆）	23	25	30	26	16

（Ⅰ）請根據(jù)表中 4月2日至4月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}x$+$\stackrel{∧}{a}$；若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，請用 4月1日和4月5日數(shù)據(jù)檢驗你所得的線性回歸方程是否可靠？
（Ⅱ）從4月1日至4月5日中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．
（參考公式：回歸直線的方程是$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}x$+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehata$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出溫差x和發(fā)芽數(shù)y的平均值，即得到樣本中心點，利用最小二乘法得到線性回歸方程的系數(shù)，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，得到a的值，得到線性回歸方程；分別驗證當x=10及x=8時，求得y值，分別驗證|y-23|＜2及|y-16|＜2線性回歸方程是否可靠；
（Ⅱ）利用列舉法求出基本事件的個數(shù)，即可求出事件“m，n均不小于25”的概率．

解答 解：（Ⅰ） $\overline x=\frac{1}{3}（11+13+12）=12$，$\overline y=\frac{1}{3}（25+30+26）=27$，$3\overline x\overline y=972$．
$\sum_{i=1}^3{{X_i}{Y_i}}=11×25+13×30+12×26=977$，$\sum_{i=1}^3{X_i^2}={11^2}+{13^2}+{12^2}=434$，$3{\overline x^2}=432$．
由公式，求得$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\bar x•\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{977-972}{434-432}=\frac{5}{2}$，$\widehata=\bar y-b\overline{x}=27-\frac{5}{2}×12=-3$．
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為$\hat y=\frac{5}{2}x-3$．--------------------------------（5分）
當x=10時，y=$\frac{5}{2}×10-3$=22，|22-23|＜2；
當x=8時，y=$\frac{5}{2}×8-3$=17，|17-16|＜2．
所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的．-------------------------------（7分）
（Ⅱ）m，n的所有取值情況有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），即基本事件總數(shù)為10．
設(shè)“m，n均不小于25”為事件A，則事件A包含的基本事件為（25，30），（25，26），（30，26）．
所以P（A）=$\frac{3}{10}$，故事件A的概率為$\frac{3}{10}$．------------------------------------（12分）

點評 本題考查求線性回歸方程，并且用線性回歸方程來預報y的值，從而得到預報值與檢驗數(shù)據(jù)的誤差，得到線性回歸方程是否可靠，考查古典概型概率的計算，屬于中檔題．