Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$；
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）求不等式$\frac{3}{5}$≤f（x）$≤\frac{15}{17}$的解集．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$是奇函數(shù)，利用定義法能證明f（x）是奇函數(shù)．
（2）f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{2x}-1}{{2}^{2x}+1}$=$\frac{{2}^{2x}+1-2}{{2}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$，由$\frac{3}{5}$≤f（x）$≤\frac{15}{17}$，得5≤2^2x+1≤17，由此能耱出不等式$\frac{3}{5}$≤f（x）$≤\frac{15}{17}$的解集．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$是奇函數(shù)．
證明如下：
∵函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$，∴x∈R，
且f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-{2}^{x}}{{2}^{-x}+{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{2x}-1}{{2}^{2x}+1}$=$\frac{{2}^{2x}+1-2}{{2}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$，
∵2^2x+1是單調(diào)遞增，∴$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$單調(diào)遞減，
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=1-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$是單調(diào)遞增函數(shù)，
∵$\frac{3}{5}$≤f（x）$≤\frac{15}{17}$，∴$\frac{3}{5}$≤1-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$$≤\frac{15}{17}$，
∴-$\frac{2}{5}≤-\frac{2}{{2}^{2x}+1}≤-\frac{2}{17}$，∴$\frac{2}{17}≤\frac{2}{{2}^{2x}+1}≤\frac{2}{5}$，
∴5≤2^2x+1≤17，解得1≤x≤2．
∴不等式$\frac{3}{5}$≤f（x）$≤\frac{15}{17}$的解集為[1，2]．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷與證明，考查不等式的解集的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．