在平面區(qū)域
x-2y+10≥0
x+2y-6≥0
2x-y-7≤0
內(nèi)有一個(gè)圓，向該區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，將點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率最大時(shí)的圓記為圓M．
（1）試求出圓M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P（0，3）作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A、B，又過P作圓N：x2+y2-4x+λy+4=0的兩條切線，切點(diǎn)分別記為C、D，試確定λ的值，使AB⊥CD．
分析：（1）先畫出該平面區(qū)域，明確區(qū)域所圍成的平面圖形的形狀，再由“落在圓內(nèi)的概率最大時(shí)的圓”則為該平面圖形的內(nèi)切圓．再由圓的相關(guān)條件求圓的方程．
（2）根據(jù)PM⊥AB，PN⊥CD，則要使AB⊥CD，只要PM⊥PN即可，即由
PM
•
PN
=0，建立關(guān)于λ的方程來求解．
解答：解：（1）畫出該區(qū)域得三角形ABC，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，4），B（4，1），C（8，9），（2分）
且為直角三角形，三邊長分別為3
5
，4
5
，5
5
（4分）精英家教網(wǎng)
由于概率最大，故圓M是ABC內(nèi)切圓，R=
5
，（5分）
設(shè)M（a，b），則
|a-2b+10|
5
=
|a+2b-6|
5
=
|2a-b-7|
5
=
5
（7分）
解得a=3，b=4（9分）
所以圓M的方程為（x-3）2+（y-4）2=5（10分）
（2）要使AB⊥CD，則PM⊥PN，
PM
•
PN
=0，（13分）
N(2，-
λ
2
)，P（0，3）
求得λ=6（16分）
點(diǎn)評：本題主要考查平面區(qū)域的畫法，三角形的內(nèi)切圓的求法以及圓的切線的應(yīng)用．還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面區(qū)域
x≥0
y≥0
x+2y-4≤0
恰好被面積最小的圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2及其內(nèi)部所覆蓋，設(shè)該圓的圓心為點(diǎn)C．
（1）試求圓C的方程．
（2）若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，且CA⊥CB，求直線l的方程．
（3）求直線y=k（x-9）與圓C在第一象限部分的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（-2，1），在平面區(qū)域
x≥0
x+y≤2
y≥0
上任意取一點(diǎn)N，則使
OM
•
ON
＞0的概率為
1
3
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•天河區(qū)三模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（-2，1），在平面區(qū)域
x≥0
x+y≤2
y≥0
上取一點(diǎn)N，則使|MN|為最小值時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點(diǎn)（x，y）在平面區(qū)域
x≤2
y≤2
x+y≥2
內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則t=x+2y的取值范圍是（　�。�
A、[2，6]
B、[2，5]
C、[3，6]
D、[3，5]

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