Question

14．汽車4S店是一種以“四位一體”為核心的特許經(jīng)營模式，包括整車銷售、零配件銷售、售后服務(wù)、信息反饋等．某品汽車4S店為了了解A、B、C三種類型汽車質(zhì)量問題，對售出的三種類型汽車各取100輛進行跟蹤服務(wù)，發(fā)現(xiàn)各車型一年內(nèi)需要維修的車輛如下表所示1：

車型	A型	B型	C型
頻數(shù)	20	20	40

表1
（1）某公司一次性從4S店購買該品牌A、B、C型汽車各一輛，記ξ表示這三輛車的一年內(nèi)需要維修的車輛數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望（各型汽車維修的頻率視為其需要維修的概率）；
（2）該品牌汽車4S店為了對廠家新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按使事先擬定的各種價格進行試銷相等時間，得到數(shù)據(jù)如表2．

單價x（元）	800	820	840	850	880	900
銷量y（件）	90	84	83	80	75	68

表2
預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從$\widehat{y}$=bx+a（b=0.2，a=$\widehat{y}$-b$\widehat{x}$）的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是500元/件，為使4S店獲得最大利潤（利潤=銷售收入-成本），該產(chǎn)品的單價應(yīng)定位多少元．

Answer 1

分析 解：（1）根據(jù)題意，計算A、B、C型車維修的概率，求出ξ的可能值與對應(yīng)概率值，寫出ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）求出樣本的中心點坐標，計算回歸方程的系數(shù)，寫出利潤函數(shù)w的解析式，求出W（x）的最大值以及對應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）根據(jù)表格，A型車維修的概率為$\frac{1}{5}$，B型車維修的概率為$\frac{1}{5}$，C型車維修的概率為$\frac{2}{5}$；
由題意，ξ的可能值為0，1，2，3，…（1分）
所以$p（ξ=0）=\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{48}{125}$；
$p（ξ=1）=\frac{1}{5}×\frac{4}{5}×\frac{3}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×\frac{3}{5}+\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{2}{5}=\frac{56}{125}$；$p（ξ=2）=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{5}×\frac{4}{5}×\frac{2}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×\frac{2}{5}=\frac{19}{125}$；
$p（ξ=3）=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{2}{5}=\frac{2}{125}$；…
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{48}{125}$	$\frac{56}{125}$	$\frac{19}{125}$	$\frac{2}{125}$

…（5分）
所以$E（ξ）=0×\frac{48}{125}+1×\frac{56}{125}+2×\frac{19}{125}+3×\frac{2}{125}=\frac{4}{5}$；…（7分）
（2）設(shè)獲得的利潤為w元，根據(jù)計算可得，$\overline x=850，\overline y=80$，
代入回歸方程得$\overline y=-0.2x+250$，…（9分）
∴w=（-0.2x+250）（x-500）=-0.2x²+350x-125000；…（10分）
此函數(shù)圖象為開口向下，以$x=-\frac{350}{-2×0.2}=875$為對稱軸的拋物線，
所以當x=875時，W（x）取的最大值；
即為使4S店獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為875元．…（12分）

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，也考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．