Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，E、F為AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AC和BF交于點(diǎn)G，△BEG的外接圓為圓H．
（1）求證：EG⊥BF；
（2）若圓H與圓C無公共點(diǎn)，求圓C半徑的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,作圖題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）在矩形ABCD中，以DA所在直線為x軸，以DA中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，可得A（3，0），B（3，2），C（-3，2），F(xiàn)（-1，0），從而可得G點(diǎn)的坐標(biāo)為(

3

5

，

4

5

)，由kBF=

1

2

 ，kEG=-2證明EG⊥BF；
（2）寫出圓H方程為 （x-2）²+（y-1）²=2，則由題意可得圓H內(nèi)含于圓C或圓H與圓C相離，從而得CH＜r-

2

或CH＞r+

2

，從而求解．

解答： 解：（1）證明：在矩形ABCD中，以DA所在直線為x軸，以DA中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系． 

由題意可知A（3，0），B（3，2），C（-3，2），F(xiàn)（-1，0）．
所以直線AC和直線BF的方程分別為：x+3y-3=0，x-2y+1=0，
由

x+3y-3=0 x-2y+1=0

解得

x= 3 5 y= 4 5

，
所以G點(diǎn)的坐標(biāo)為(

3

5

，

4

5

)．
所以kBF=

1

2

 ，kEG=-2，
因?yàn)閗_BF•k_EG=-1，
所以EG⊥BF．
（2）由（1）知圓H的圓心為BE中點(diǎn)H（2，1），半徑為BH=

2

，
所以圓H方程為 （x-2）²+（y-1）²=2．
圓C的圓心為C（-3，2），CH=

(-3-2)2+(2-1)2

=

26

，設(shè)的半徑為r，（r＞0）
因?yàn)閳AH與圓C無公共點(diǎn)，所以圓H內(nèi)含于圓C或圓H與圓C相離，
故CH＜r-

2

或CH＞r+

2

所以0＜r＜

26

-

2

或r＞

26

+

2

，
即圓C半徑的取值范圍為(0，

26

-

2

)∪(

26

+

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線垂直的判斷與圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．