Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（1，0），且在y軸上截得弦MN的長為2．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡O₁的方程；
（2）若P是動(dòng)圓圓心的軌跡O₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B，C在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PBC，求△PBC面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)圓心C（x，y），過點(diǎn)C作CE⊥y 軸，垂足為E，利用垂徑定理可得|ME|=4，又|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），設(shè)b＞c．直線PB：y-b=y-b=

y0-b

x0

x，化簡，得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，由圓心（1，0）到直線PB的距離是1，知

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，由此導(dǎo)出（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理，（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，所以（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

，從而得到S_△PBC=

1

2

（b-c）x₀，由此能求出△PBC面積的最小值．

解答： 解：（1）設(shè)圓心C（x，y），過點(diǎn)C作CE⊥y 軸，垂足為E，則|ME|=1，
∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴（x-1）²+y²=1²+x²，化為y²=2x；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），設(shè)b＞c．
直線PB的方程：y-b=

y0-b

x0

x，
化簡，得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
∵圓心（1，0）到直線PB的距離是1，
∴

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
∴（y₀-b）²+x₀²=（y₀-b）²+2x₀b（y₀-b）+x₀²b²，
∵x₀＞2，上式化簡后，得
（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理，（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
∴b+c=

-2y0

x0-2

，bc=-

x0

x0-2

，
∴（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

，
∵P（x₀，y₀）是拋物線上的一點(diǎn)，
∴y₀²=2x₀，
∴（b-c）²=

4x02

(x0-2)2

，b-c=

2x0

x0-2

，
∴S_△PBC=

1

2

（b-c）x₀=（x₀-2）+

4

x0-2

+4≥2

4

+4=8．
當(dāng)且僅當(dāng)x₀-2=

4

x0-2

時(shí)，取等號．
此時(shí)x₀=4，y₀=±2

2

．
∴△PBC面積的最小值為8．

點(diǎn)評：本題綜合考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查三角形面積的最小值的求法，具體涉及到垂徑定理、兩點(diǎn)間的距離公式、拋物線的性質(zhì)、拋物線和直線的位置關(guān)系、圓的簡單性質(zhì)、均值定理等基本知識，綜合性強(qiáng)，難度大，對數(shù)學(xué)思想的要求較高，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．