Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中點．
（1）求證：AC₁⊥平面B₁D₁C；
（2）過E構(gòu)造一條線段與平面B₁D₁C垂直，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：證明題,探究型,空間位置關系與距離

分析：（1）先證明B₁D₁⊥平面AA₁C₁，即可證B₁D₁⊥AC₁，同理可證AC₁⊥B₁C，從而證明AC₁⊥B₁D₁C．
（2）連結(jié)EO，此線段與平面B₁D₁C垂直，由E是AA₁的中點，O是A₁C₁的中點，得EO∥AC₁，由AC₁⊥平面B₁D₁C，可證EO⊥平面B₁D₁C．

解答： 證明：（1）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥B₁D₁．
∵A₁C₁⊥B₁D₁，且AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴B₁D₁⊥平面AA₁C₁，∴B₁D₁⊥AC₁．
同理，AC₁⊥B₁C，∴AC₁⊥B₁D₁C．
（2）連結(jié)EO，此線段與平面B₁D₁C垂直．
∵E是AA₁的中點，O是A₁C₁的中點，∴EO∥AC₁．
∵AC₁⊥平面B₁D₁C，∴EO⊥平面B₁D₁C．

點評：本題主要考察了直線與平面垂直的判定，連結(jié)EO，探究此線段與平面B₁D₁C垂直是解題的關鍵，屬于中檔題．