Question

11．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，且PA=AD=2，E、F分別為棱AD、PC的中點．
（1）求異面直線EF和PB所成角的大小；
（2）求證：平面PCE⊥平面PBC；
（3）求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

分析 以直線AB為x軸，直線AD為y軸，直線AP為z軸建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，
（1）求出$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1）．$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），利用空間向量的數量積求解即可得到異面直線EF和PB所成角的大�。�
（2）證明EF⊥PB，EF⊥BC，然后證明平面PCE⊥平面PBC．
（3）過點D作DH⊥PC于H，求出$\overrightarrow{DH}$=（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），又$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1），利用空間向量的數量積求解二面角的平面角的大小即可．

解答 解：以直線AB為x軸，直線AD為y軸，直線AP為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
（1）∵E為AD的中點，∴E（0，1，0），又F為PC的中點，

∴F（1，1，1）．∴$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1）．又$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{1×2+1×（-2）}{\sqrt{1+1}•\sqrt{4+4}}$=0，∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{PB}$＞=90°，
異面直線EF和PB所成角的大小為90°．
（2）證明：由（1）知EF⊥PB，
又∵$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1）∴$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{BC}$=0，∴EF⊥BC，∴EF⊥平面PBC，
又EF?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBC．
（3）過點D作DH⊥PC于H，在Rt△PDC中，PD=2$\sqrt{2}$，DC=2，PC=2$\sqrt{3}$，則CH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，PH：HC=2：1，
又P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），∴H（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴$\overrightarrow{DH}$=（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），又$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1），
cos＜$\overrightarrow{DH}$，$\overrightarrow{EF}$＞=$\frac{2}{\frac{2\sqrt{6}}{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴＜$\overrightarrow{DH}$，$\overrightarrow{EF}$＞=30°．
二面角E-PC-D的大小30°．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，異面直線所成角的求法，直線與平面垂直平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．