Question

已知數(shù)列{a_n}為遞增的等比數(shù)列，且a₃、a₈分別是方程x²-66x+128=0的兩根．
（1）求a₅•a₆的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）以數(shù)列{a_n}中的偶數(shù)項(xiàng)作為一個(gè)新的數(shù)列{b_n}，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，并求前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，我們易得a₅•a₆=a₃•a₈，再由a₃、a₈分別是方程x²-66x+128=0的兩根，由韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）我們易得到答案．
（2）由數(shù)列{a_n}為遞增的等比數(shù)列，且a₃、a₈分別是方程x²-66x+128=0的兩根，我們易由韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）求出數(shù)列的a₃、a₈，進(jìn)而求出數(shù)列的公比，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；項(xiàng)公式，并求前n項(xiàng)和S_n．
（3）由（2）的結(jié)論，結(jié)合以數(shù)列{a_n}中的偶數(shù)項(xiàng)作為一個(gè)新的數(shù)列{b_n}，我們可以確定數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)及公比，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式，及前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：∵數(shù)列{a_n}為遞增的等比數(shù)列，且a₃、a₈分別是方程x²-66x+128=0的兩根
∴a₃•a₈=128，a₃+a₈=66
∴a₃=2，a₈=64
（1）∵5+6=3+8
∴a₅•a₆=a₃•a₈=128，
（2）∵a₃=2，a₈=64
∴q=2
∴a_n=2^n-2
（3）由（2）的結(jié)論數(shù)列{a_n}中的偶數(shù)項(xiàng)作為一個(gè)新的數(shù)列{b_n}，
則數(shù)列{b_n}是一個(gè)以1為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列
則b_n=4^n-1
S_n=

1-4n

1-4

=

1

3

•4n-

1

3

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時(shí)，根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，然后代入進(jìn)行運(yùn)算．