【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣ x+c(a,c∈R)滿足條件:①f(1)=0;②對(duì)一切x∈R,都有f(x)≥0
(1)求a、c的值;
(2)若存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)g(x)=f(x)﹣mx在區(qū)間[m,m+2]上有最小值﹣5,求出實(shí)數(shù)m的值.
【答案】
(1)解:法一:當(dāng)a=0時(shí),f(x)=﹣ x+c.
由f(1)=0得:﹣ +c=0,即c= ,∴f(x)=﹣ x+ .
顯然x>1時(shí),f(x)<0,這與條件②相矛盾,不合題意.
∴a≠0,函數(shù)f(x)=ax2﹣ x+c是二次函數(shù).
由于對(duì)一切x∈R,都有f(x)≥0,于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:
,即 (*),
由f(1)=0得 a+c= ,即c= ﹣a,代入(*)得 a( ﹣a)≥
整理得 a2﹣ a+ ≤0,即(a﹣ )2≤0.
而(a﹣ )2≥0,∴a= ,
將a= 代入(*)得,c= ,
∴a=c= .
法二:當(dāng)a=0時(shí),f(x)=﹣ x+c.
由f(1)=0得﹣ +c=0,即c= ,
∴f(x)=﹣ x+ ,
顯然x>1時(shí),f(x)<0,這與條件②相矛盾,
∴a≠0,因而函數(shù)f(x)=a2﹣ x+c是二次函數(shù).
由于對(duì)一切x∈R,都有f(x)≥0,于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:
,由此可知 a>0,c>0,
∴ac≤( )2.
由f(1)=0,得 a+c= ,代入上式得 ac≤ ,
但前面已推得 ac≥ ,
∴ac= ,
由 解得 a=c=
(2)解:∵a=c= ,∴f(x)= x2﹣ x+ .
∴g(x)=f(x)﹣mx= x2﹣(vm)x+ .
該函數(shù)圖象開口向上,且對(duì)稱軸為x=2m+1.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)g(x)=f(x)﹣mx= x2﹣( +m)x+ 在區(qū)間[m,m+2]上有最小值﹣5.
①當(dāng)m<﹣1時(shí),2m+1<m,函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,m+2]上是遞增的,
∴g(m)=﹣5,
即 m2﹣( +m)m+ =﹣5,
解得 m=﹣3或m= ,
∵ >﹣1,∴m= 舍去
②當(dāng)﹣1≤m<1時(shí),m≤2m+1<m+1,
函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,2m+1]上是遞減的,而在區(qū)間[2m+1,m+2]上是遞增的,
∴g(2m+1)=﹣5,
即 (2m+1)2﹣( +m)(2m+1)+ =﹣5.
解得 m=﹣ ﹣ 或m=﹣ + ,均應(yīng)舍去.
③當(dāng)m≥1時(shí),2m+1≥m+2,函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,m+2]上是遞減的,
∴g(m+2)=﹣5,
即 (m+2)2﹣( +m)(m+2)+ =﹣5.
解得 m=﹣1﹣2 或m=﹣1+2 ,其中m=﹣1﹣2 應(yīng)舍去.
綜上可得,當(dāng)m=﹣3或m=﹣1+2 時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)﹣mx在區(qū)間[m,m+2]上有最小值
【解析】(1)首先函數(shù)f(x)=ax2﹣ x+c是二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決對(duì)一切x∈R,都有f(x)≥0;根據(jù)f(1)=0得 a+c= ,即c= ﹣a,從而可得 a( ﹣a)≥ ,進(jìn)而可得a,c的值, 另解:首先函數(shù)f(x)=ax2﹣ x+c是二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決對(duì)一切x∈R,都有f(x)≥0;由f(1)=0,得 a+c= ,代入上式得 ac≤ ,根據(jù) ac≥ ,可得ac= ,從而得到關(guān)于a,c的方程組,故可求a、c的值;(2)g(x)=f(x)﹣mx= x2﹣( +m)x+ , x2﹣( +m)x+ 在區(qū)間[m,m+2]上有最小值﹣5.根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論,從而可求m的值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減才能正確解答此題.
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①M(fèi)={ };
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③M={(x,y)|y=log2x};
④M={(x,y)|y=ex﹣2}.
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是( )
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
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(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(2)= ,且g[f(x)]≥k對(duì)x∈[﹣1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= +1,若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,求a的值;
(3)若數(shù)列{bn}是(2)中的等比數(shù)列,數(shù)列cn=(n﹣1)bn , 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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(1)當(dāng)m=2時(shí),求cosA
(2)當(dāng) ∈(1, )時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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